Train Problem II

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Problem Description

As we all know the Train Problem I,the boss of the Ignatius Train Station want to know if all the trains come in strict-increasing order,how many orders that all the trains can get out of the railway.

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Input

The input contains several test cases. Each test cases consists of a number N(1<=N<=100). The input is terminated by the end of file.

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Output

For each test case,you should output how many ways that all the trains can get out of the railway.

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Sample Input

  
  
   
   1 2 3 10
  
  

?

Sample Output

  
  
   
   1 2 5 16796 
   
    
     
     Hint 
     
     The result will be very large,so you may not process it by 32-bit integers.  
   
   
    
  
  

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题意：n辆火车编号为1~n，按照编号递增的顺序进入火车站（栈模型），出站的情况有多少种？

题解：我们可以把题目看成这样的模型：一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列? ??

　　首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。同时，我们假定第一个出栈的序数是k。
　　第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1~k-1，序列个数为k-1，另外一
个是k+1~n，序列个数是n-k。
　　此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n – k的出栈序列种数，即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。

而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：
f（n）=

f（0）f（n-1）
+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。

那么这个式子到底有什么作用，怎么求和呢？

这个式子就是组合数学中的卡特兰数的递推式。卡特兰数的递推式形态一共有如下几种：

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式[1] ：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式[2] ?：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)

递推关系的另类解为：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,…)

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有关卡特兰数的几篇博文Y(^o^)Y：?博文1? ??博文2? ?博文3? ?

代码就用了kuangbin大牛的板子，很好懂，如下：

//h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[110][110];
//a[n][0]表示n的卡特兰数的长度，存储是反向的，a[n][1]表示个位数 

void ktl()//打表 
{
	int i,j,len;
	int c,s;
	a[1][0]=1;
	a[1][1]=1;
	a[2][0]=1;
	a[2][1]=2;
	len=1;
	for(i=3;i<101;++i)
	{
		c=0;
		for(j=1;j<=len;++j)
		{
			s=a[i-1][j]*(4*i-2)+c;
			c=s/10;
			a[i][j]=s%10;
		}
		while(c)
		{
			a[i][++len]=c%10;
			c/=10;
		}
		for(j=len;j>0;--j)
		{
			s=a[i][j]+c*10;
			a[i][j]=s/(i+1);
			c=s%(i+1);
		}
		while(!a[i][len])
			len--;
		a[i][0]=len;
	}
}

int main()
{
	ktl();
	int n;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		for(int i=a[n][0];i>0;--i)
			printf("%d",a[n][i]);
		printf("\n");
	}
	return 0;
}